进制

进制的概念:
在计算机语言中常用的进制有二进制、八进制、十进制和十六进制,十进制是最主要的表达形式。

对于进制,有两个基本的概念:基数和运算规则。

基数:基数是指一种进制中组成的基本数字,也就是不能再进行拆分的数字。二进制是0和1; 八进制是0-7;十进制是0-9;十六进制是0-9,A-F(大小写均可)。也可以这样简单记忆,假设是n进制的话,基数就是【0,n-1】的数字,基数的个数和进制值相同,二进制有两个基数,十进制有十个基数,依次类推。

运算规则:运算规则就是进位或错位规则。例如对于二进制来说,该规则是“满二进一,借一当二”;对于十进制来说,该规则是“满十进一,借一当十”。其他进制也是这样。

0~20十进制、二进制、八进制、对照表

十进制二进制八进制十六进制
0000000
1000111
2001022
3001133
4010044
5010155
6011066
7011177
81000108
91001119
10101012A
11101113B
12110014C
13110115D
14111016E
15111117F
16100002010
17100012111
18100102212
19100112313
20101002414

注:
1个八进制位刚好是3个二进制位
1个十六进制位刚好是4个二进制位


二进制转化成其他进制

1. 二进制(Binary)——>八进制(Octal)
(1).将二进制数(10010)2转化成八进制数。
(10010)2=(010 010)2=(2 2)8

(2).将二进制数(0.1010)2转化为八进制数。
(0.10101)2=(0. 101 010)2=(0. 52)8

诀窍:因为每三位二进制数对应一位八进制数,所以,以小数点为界,整数位则将二进制数从右向左每3位一隔开,不足3位的在左边用0填补即可;小数位则将二进制数从左向右每3位一隔开,不足3位的在右边用0填补即可。

2. 二进制(Binary)——>十进制(Decimal)

(1).将二进制数(10010)2转化成十进制数。
(10010)2=(1x24+0x23+0x22+1x21+0x20)10=(16+0+0+2+0)10=(18) 10

(2).将二进制数(0.10101)2转化为十进制数。
(0.10101)2=(0+1x2-1+0x2-2+1x2-3+0x2-4+1x2-5)10 =(0+0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125)10=(0.96875)10

诀窍: 以小数点为界,整数位从最后一 位(从右向左)开始算,依次列为第0、1、2、3………n,然后将第n位的数(0或1)乘以2的n-1次方,然后相加即可得到整数位的十进制数;小数位则 从左向右开始算,依次列为第1、2、3……..n,然后将第n位的数(0或1)乘以2的-n次方,然后相加即可得到小数位的十进制数(按权相加法)。

3. 二进制(Binary)——>十六进制(Hex)

(1).将二进制数(10010)2转化成十六进制数。
(10010)2=(0001 0010)2=(1 2)16

(2).将二进制数(0.10101)2转化为十六进制数。
(0.10101)2=(0. 1010 1000)2=(0. A 8)16

诀窍:因为每四位二进制数对应一位十六进制数,所以,以小数点为界,整数位则将二进制数从右向左每4位一隔开,不足4位的在左边用0填补即可;小数位则将二进制数从左向右每4位一隔开,不足4位的在右边用0填补即可。


八进制转化成其他进制

1. 八进制(Octal)——>二进制(Binary)

(1).将八进制数(751)8转换成二进制数。
(751)8=(7 5 1)8=(111 101 001)2

(2).将八进制数(0.16)8转换成二进制数。
(0.16)8=(0. 1 6)8=(0. 001 110)2

诀窍:八进制转换成二进制与二进制转换成八进制相反。

2. 八进制(Octal)——>十进制(Decimal)

(1).将八进制数(751)8转换成十进制数。
(751)8=(7x82+5x81+1x80)10
=(448+40+1)10
=(489)10

(2).将八进制数(0.16)8转换成十进制数。
(0.16)8=(0+1x8-1+6x8-2)10
=(0+0.125+0.09375)10
=(0.21875)10

诀窍:方法同二进制转换成十进制。以小数点为界,整数位从最后一位(从右向左)开始算,依次列为第0、1、2、3………n,然后将第n位的数(0-7)乘以8的n-1次方,然后相加即可得到 整数位的十进制数;小数位则从左向右开始算,依次列为第1、2、3……..n,然后将第n位的数(0-7)乘以8的-n次方,然后相加即可得到小数位的十 进制数(按权相加法)。

3. 八进制(Octal)——>十六进制(Hex)

(1).将八进制数(751)8转换成十六进制数。
(751)8=(111101001)2
=(0001 1110 1001)2
=(1 E 9)16

(2).将八进制数(0.16)8转换成十六进制数。
(0.16)8=(0.00111)2
=(0. 0011 1000)2
=(0.38)16

诀窍:八进制直接转换成十六进制比较费力,因此,最好先将八进制转换成二进制,然后再转换成十六进制。


十进制转化成其他进制

1. 十进制(Decimal)——>二进制(Binary)

(1).将十进制数(93)10转换成二进制数。
93/2=46……….1
46/2=23……….0
23/2=11……….1
11/2=5…………1
5/2=2…………...1
2/2=1……………0
(93)10=(1011101)2

(2).将十进制数(0.3125)10转换成二进制数。
0.3125x2 = 0 . 625
0.625x2 = 1 .25
0.25x2 = 0 .5
0.5x2 = 1 .0
(0.3125)10=(0.0101)2

诀窍:以小数点为界,整数部分除以2,然后取每次得到的商和余数,用商继续和2相除,直到商小于2。然后把第一次得到的余数作为二进制的个位,第二次得到的余数作为二进制的十位,依次类推,最后一次得到的小于2的商作为二进制的最高位,这样由商+余数组成的数字就是转换后二进制的值(整数部分用除2取余法);小数部分则先乘2,然后获得运算结果的整数部分,将结果中的小数部分再次乘2,直到小数部分为零。然后把第一次得到的整数部分作为二进制小数的最高位,后续的整数部分依次作为低位,这样由各整数部分组成的数字就是转化后二进制小数的值(小数部分用乘2取整法)。需要说明的是,有些十进制小数无法准确的用二进制进行表达,所以转换时符合一定的精度即可,这也是为什么计算机的浮点数运算不准确的原因。

2. 十进制(Decimal)——>八进制(Octal)

(1).将十进制数(93)10转换成八进制数。
93/8=11………….5
11/8=1……………3
(93)10=(135)8

(2).将十进制数(0.3125)10转换成八进制数。
0.3125x8 = 2 .5
0.5x8 = 4 .0
(0.3125)10=(0.24)8

诀窍:方法同十进制转化成二进制。以小数点为界,整数部分除以8,然后取每次得到的商和余数,用商继续和8相除,直到商小于8。然后把第一次得到的余数作为八进制的个位,第二次得到的余数作为八进制的十位,依次类推,最后一次得到的小于8的商作为八进制的最高位,这样由商+余数组成的数字就是转换后八进制的值(整数部分用除8取余法); 小数部分则先乘8,然后获得运算结果的整数部分,将结果中的小数部分再次乘8,直到小数部分为零。然后把第一次得到的整数部分作为八进制小数的最高位,后续的整数部分依次作为低位,这样由各整数部分组成的数字就是转化后八进制小数的值(小数部分用乘8取整法)。

3. 十进制(Decimal)——>十六进制(Hex)

(1).将十进制数(93)10转换成十六进制数。
93/16=5……..13(D)
(93)10=(5D)16

(2).将十进制数(0.3125)10转换成十六进制数。
0.3125x16 = 5 .0
(0.3125)10=(0.5)16

诀窍:方法同十进制转化成二进制。以小数点为界,整数部分除以16,然后取每次得到的商和余数,用商继续和16相除,直到商小于16。然后把第一次得到的余数作为十六进制的个位,第二次得到的余数作为十六进制的十位,依次类推,最后一次得到的小于16的商作为十六进制的最高位,这样由商+余数组成的数字就是转换后十六进制的值(整数部分用除16取余法); 小数部分则先乘16,然后获得运算结果的整数部分,将结果中的小数部分再次乘16,直到小数部分为零。然后把第一次得到的整数部分作为十六进制小数的最高位,后续的整数部分依次作为低位,这样由各整数部分组成的数字就是转化后十六进制小数的值(小数部分用乘16取整法)。


十六进制转换成其他进制

1. 十六进制(Hex)——>二进制(Binary)

(1).将十六进制数(A7)16转换成二进制数。
(A7)16=(1010 0111)2

(2).将十六进制数(0.D4)16转换成二进制数。
(0.D4)16=(0. 1101 0100)2

诀窍:十六进制转换成二进制与二进制转换成十六进制相反。

2. 十六进制(Hex)——>八进制(Octal)

(1).将十六进制数(A7)16转换成八进制数。
(A7)16=(010 100 111)8=(247)8

(2).将十六进制数(0.D4)16转换成八进制数。
(0.D4)16=(0. 110 101)8=(0.65)8

诀窍:十六进制直接转换成八进制比较费力,因此,最好先将十六进制转换成二进制,然后再转换成八进制。

3. 十六进制(Hex)——>十进制(Decimal)

(1).将十六进制数(A7)16转换成十进制数。
(A7)16=(10x161+7x160)10
=(160+7)10
=(167)10

(2).将十六进制数(0.D4)16转换成十进制数。
(0.D4)16=(0+13x16-1+4x16-2)10
=(0+0.8125+0.015625)10
=(0.828125)10

诀窍:方法同二进制转换成十进制。以 小数点为界,整数位从最后一位(从右向左)开始算,依次列为第0、1、2、3………n,然后将第n位的数(0-9,A-F)乘以16的n-1次方,然后相 加即可得到整数位的十进制数;小数位则从左向右开始算,依次列为第1、2、3……..n,然后将第n位的数(0-9,A-F)乘以16的-n次方,然后相 加即可得到小数位的十进制数(按权相加法)。


总结

  1. 其他进制转十进制:将二进制数、八进制数、十六进制数的各位数字分别乘以各自基数的(N-1)次方,其相加之和便是相应的十进制数,这是按权相加法。
  2. 十进制转其他进制:整数部分用除基取余法,小数部分用乘基取整法,然后将整数与小数部分拼接成一个数作为转换的最后结果。
  3. 二进制转八进制:从小数点位置开始,整数部分向左,小数部分向右,每三位二进制为一组用一位八进制的数字来表示,不足三位的用0补足。
  4. 八进制转二进制:与二进制转八进制相反。
  5. 二进制转十六进制:从小数点位置开始,整数部分向左,小数部分向右,每四位二进制为一组用一位十六进制的数字来表示,不足四位的用0补足。
  6. 十六进制转二进制:与二进制转十六进制相反。
  7. 八进制转十六进制:通常将八进制转换成二进制,然后通过二进制再转换成十六进制。
  8. 十六进制转八进制:通常将十六进制转换成二进制,然后通过二进制再转换成八进制。
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